O Teorema de Pitágoras: A Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética 

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante chamada razão ao termo anterior. O cálculo da soma de todos os termos de uma PA finita é uma ferramenta matemática amplamente utilizada em finanças, análise de dados e física.

1. A Equação

A soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética finita é calculada pela fórmula:

Sn = ((a1 + an) × n) / 2

Onde:

• Sn é a Soma dos n primeiros termos da progressão.

• a1 é o Primeiro termo da sequência.

• an é o Enésimo (último) termo da sequência.

• n é o Número total de termos somados.

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

A demonstração dessa fórmula é inspirada no método histórico utilizado pelo matemático Carl Friedrich Gauss ainda na infância para somar rapidamente os números de 1 a 100.

Passo 1: Escrevendo a Soma na Ordem Direta

Vamos escrever a soma dos n termos de uma PA de forma explícita, do primeiro ao último termo:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

Passo 2: Escrevendo a Soma na Ordem Inversa

Agora, reescrevemos a mesma soma Sn, mas invertendo completamente a ordem dos termos, começando do último e indo até o primeiro:

Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1

Passo 3: Somando as Duas Equações Membro a Membro

Somando o lado esquerdo com o lado esquerdo, e cada termo correspondente das sequências no lado direito:

2 × Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an + a1)

Passo 4: Observando a Propriedade dos Termos Equidistantes

Em qualquer Progressão Aritmética, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é sempre igual à soma do primeiro com o último termo:

• a1 + an = S

• a2 + an-1 = a1 + an

• a3 + an-2 = a1 + an

Isso significa que todas as parcelas dentro dos parênteses no lado direito da equação têm exatamente o mesmo valor: (a1 + an).

Passo 5: Simplificando a Soma de Parcelas Iguais

Como existem exatamente n pares de termos sendo somados no lado direito, podemos substituir a soma repetida por uma multiplicação por n:

2 × Sn = (a1 + an) × n

Passo 6: Isolando a Soma Sn

Dividindo ambos os lados da equação por 2, chegamos à demonstração completa da fórmula da soma da PA:

Sn = ((a1 + an) × n) / 2