Demonstração de Fórmula: O Teorema do Impulso e a Quantidade de Movimento

A variação do movimento de um corpo sob a ação de uma força resultante ao longo do tempo é um dos conceitos fundamentais da dinâmica clássica. A relação entre o impulso aplicado a um objeto e a alteração da sua quantidade de movimento permite projetar desde sistemas de segurança automotiva, como os airbags, até trajetórias de foguetes espaciais.

1. A Equação

O Teorema do Impulso estabelece que o Impulso (I) produzido por uma força resultante constante aplicada a um corpo durante um determinado intervalo de tempo é igual à variação da sua Quantidade de Movimento (Δp):

I = Δp

Expandindo os dois lados da igualdade em termos das variáveis fundamentais:

F × Δt = m × vf - m × vi

Onde:

• F é a Força Resultante aplicada ao corpo, em Newtons (N).

• Δt é o Intervalo de tempo de atuação da força, em segundos (s).

• m é a Massa do corpo, em quilogramas (kg).

• vf é a Velocidade final do corpo, em metros por segundo (m/s).

• vi é a Velocidade inicial do corpo, em metros por segundo (m/s).

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

A demonstração matemática do teorema deriva diretamente da Segunda Lei de Newton e da definição da aceleração média.

Passo 1: A Segunda Lei de Newton

A Segunda Lei de Newton estabelece que a força resultante (F) sobre um corpo é o produto de sua massa (m) pela aceleração (a) adquirida:

F = m × a

Passo 2: A Definição de Aceleração

A aceleração é definida como a variação da velocidade (Δv) dividida pelo intervalo de tempo (Δt) decorrido:

a = Δv / Δt

Substituindo a variação de velocidade pelo confronto entre velocidade final (vf) e inicial (vi):

a = (vf - vi) / Δt

Passo 3: Substituindo a Aceleração na Segunda Lei

Substituindo a expressão da aceleração de volta na fórmula da Segunda Lei de Newton:

F = m × ((vf - vi) / Δt)

Passo 4: Isolando os Termos Temporais

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo intervalo de tempo (Δt):

F × Δt = m × (vf - vi)

Aplicando a propriedade distributiva do lado direito da equação:

F × Δt = m × vf - m × vi

Passo 5: Reconhecendo o Impulso e a Quantidade de Movimento

O produto da força pelo tempo é definido como o Impulso da força: I = F × Δt. O produto da massa pela velocidade é definido como a Quantidade de Movimento (ou Momento Linear): p = m × v.

Assim, o termo (m × vf - m × vi) representa a variação total da quantidade de movimento (Δp). Substituindo essas definições na equação, obtemos a demonstração final:

I = Δp