Demonstração de Fórmula: O Modelo de Crescimento Populacional Exponencial

Na ecologia de populações e na microbiologia, o crescimento exponencial descreve a dinâmica teórica do aumento do número de indivíduos em uma população ao longo do tempo. Esse modelo assume uma situação ideal em que recursos como alimento, espaço e abrigo são ilimitados e não existem fatores de estresse, como predadores, doenças ou competição intraspecífica.

1. A Equação

A expressão matemática que calcula o tamanho populacional em qualquer instante do tempo é dada por:

Nt = N0 × e^(r × t)

Onde:

• Nt é o Tamanho da população no tempo futuro (t).

• N0 é o Tamanho inicial da população no tempo zero.

• e é a base do logaritmo natural, conhecida como a constante de Euler (aproximadamente 2,71828).

• r é a Taxa intrínseca de crescimento populacional (diferença entre a taxa de natalidade e a de mortalidade por indivíduo).

• t é o Período de tempo decorrido.

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

A dedução matemática dessa fórmula parte do cálculo diferencial, considerando que a variação do número de indivíduos em um intervalo infinitesimal de tempo é proporcional ao tamanho atual da própria população.

Passo 1: A Taxa de Variação Instantânea

A velocidade com que a população cresce a cada instante (dN / dt) é igual à taxa de crescimento por indivíduo (r) multiplicada pelo número total de indivíduos presentes (N):

dN / dt = r × N

Passo 2: Separação de Variáveis

Para resolver essa equação diferencial, agrupamos todos os termos relacionados à população (N) do lado esquerdo e os termos de tempo (t) do lado direito:

(1 / N) dN = r dt

Passo 3: Integração de Ambos os Lados

Aplicamos a integração definida do estado inicial (tempo 0 com população N0) até o estado final (tempo t com população Nt):

A integral de (1 / N) em relação a N é o logaritmo natural de N:

ln(Nt) - ln(N0) = r × t

Utilizando as propriedades dos logaritmos, a subtração de dois logaritmos na mesma base pode ser reescrita como o logaritmo da divisão:

ln(Nt / N0) = r × t

Passo 4: Eliminando o Logaritmo Natural com a Função Exponencial

Para isolar a razão populacional (Nt / N0), aplicamos a função exponencial (base e) em ambos os lados da equação:

e^(ln(Nt / N0)) = e^(r × t)

Como a função exponencial é a inversa do logaritmo natural, o lado esquerdo simplifica para a própria fração:

Nt / N0 = e^(r × t)

Passo 5: Isolando o Tamanho Populacional Final

Multiplicando ambos os lados da equação por N0, chegamos à fórmula final do crescimento exponencial:

Nt = N0 × e^(r × t)

Esse modelo demonstra graficamente uma curva em formato de "J", ilustrando como populações de bactérias ou espécies invasoras podem multiplicar-se de forma vertiginosa quando encontram ambientes favoráveis.