Demonstração de Fórmula: A Taxa de Fixação por Deriva Genética (Modelo de Wright-Fisher)

O modelo de Wright-Fisher descreve matematicamente a flutuação aleatória das frequências alélicas ao longo das gerações em uma população finita.

1. A Equação da Variância da Frequência Alélica

Var(Δp) = (p × q) / (2 × Ne)

Onde:

• Var(Δp) é a variância da mudança na frequência alélica por geração.

• p é a frequência do alelo A na geração atual.

• q é a frequência do alelo a na geração atual (q = 1 - p).

• Ne é o Tamanho Efetivo da População (o número de indivíduos reprodutores).

Passo 2: A Variância do Número de Alelos

Para uma variável aleatória X com distribuição binomial Bin(n, p), a variância do número de sucessos é dada por:

Var(X) = n × p × (1 - p)

Substituindo n = 2 × Ne (o número total de alelos amostrados):

Var(X) = 2 × Ne × p × q

Passo 3: A Variância da Frequência Alélica (p')

A nova frequência alélica p' é o número de alelos A escolhidos dividido pelo total de alelos amostrados (2 × Ne):

p' = X / (2 × Ne)

Pelas propriedades da variância, onde Var(c × X) = c² × Var(X) para qualquer constante c:

Var(p') = Var(X / (2 × Ne)) = (1 / (2 × Ne))² × Var(X)

Passo 4: Substituindo e Simplificando

Substituindo Var(X) = 2 × Ne × p × q:

Var(p') = (1 / (4 × Ne²)) × (2 × Ne × p × q)

Simplificando (2 × Ne) no numerador e no denominador, chegamos à fórmula final:

Var(p') = (p × q) / (2 × Ne)