Demonstração de Fórmula: A Fórmula de Bhaskara e o Método de Completar Quadrados

A Fórmula de Bhaskara, conhecida internacionalmente como a fórmula geral para equações do segundo grau, é um algoritmo algébrico utilizado para encontrar as raízes reais ou complexas de qualquer equação quadrática escrita na sua forma polinomial completa.

1. A Equação

Dada a equação geral do segundo grau na forma:

a × x² + b × x + c = 0

As soluções para a variável x são obtidas pela expressão:

x = (-b ± √(b² - 4 × a × c)) / (2 × a)

Onde:

• a, b e c são coeficientes numéricos reais, com a condição obrigatória de que a seja diferente de zero (a ≠ 0).

• O termo interno da raiz (b² - 4 × a × c) é denominado discriminante, representado pela letra grega Delta (Δ).

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

A demonstração da fórmula de Bhaskara não requer memorização prévia, pois é obtida através do método geométrico e algébrico de completar quadrados sobre a equação geral.

Passo 1: Preparando a Equação Geral

Partimos da definição da equação do segundo grau:

a × x² + b × x + c = 0

Isolamos o termo independente (c) no lado direito, subtraindo c em ambos os lados:

a × x² + b × x = -c

Como o coeficiente (a) é diferente de zero, dividimos todos os termos da equação por (a) para que o termo quadrático (x²) fique com coeficiente igual a 1:

x² + (b / a) × x = -c / a

Passo 2: O Método de Completar Quadrados

Queremos transformar o lado esquerdo em um trinômio quadrado perfeito da forma (x + k)² = x² + 2kx + k².

Comparando os termos, vemos que o termo do meio (b / a) corresponde a 2k. Logo, o valor de k é a metade desse termo: k = b / (2a).

Para completar o quadrado perfeito no lado esquerdo, devemos somar o quadrado de k, ou seja, (b / (2a))², em ambos os lados da igualdade para manter o equilíbrio:

x² + (b / a) × x + (b / (2a))² = -c / a + (b / (2a))²

Passo 3: Fatorando o Lado Esquerdo

Agora que o lado esquerdo é um trinômio quadrado perfeito, podemos reescrevê-lo na sua forma fatorada:

(x + b / (2a))² = -c / a + (b² / (4a²))

Passo 4: Igualando os Denominadores do Lado Direito

Para somar as duas frações do lado direito, precisamos de um denominador comum, que é (4a²). Multiplicamos o numerador e o denominador do termo (-c / a) por (4a):

(-c × 4a) / (a × 4a) = -4ac / (4a²)

Substituindo de volta no lado direito:

(x + b / (2a))² = (b² - 4ac) / (4a²)

Passo 5: Extraindo a Raiz Quadrada

Aplicamos a operação de raiz quadrada em ambos os lados da equação para eliminar o expoente quadrático do lado esquerdo:

x + b / (2a) = ± √((b² - 4ac) / (4a²))

A raiz quadrada de uma fração é igual à raiz do numerador dividida pela raiz do denominador. Como a raiz quadrada de (4a²) é igual a (2a), simplificamos para:

x + b / (2a) = ± √(b² - 4ac) / (2a)

Passo 6: Isolando a Variável x

Subtraímos o termo (b / (2a)) de ambos os lados da equação:

x = -b / (2a) ± √(b² - 4ac) / (2a)

Como ambas as frações possuem exatamente o mesmo denominador (2a), podemos unir os numeradores sob uma única barra de fração:

x = (-b ± √(b² - 4 × a × c)) / (2 × a)

Chegamos assim à demonstração completa e rigorosa da Fórmula de Bhaskara.