O Teorema de Pitágoras: A Geometria das Relações Triangulares 

A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano é uma das bases da geometria analítica, sendo utilizada no desenvolvimento de robótica, sistemas de informação geográfica (SIG), computação gráfica e arquitetura.

Como nos ajuda? Ela é a lógica matemática que permite aos aplicativos de mapa calcular a menor distância em linha reta entre a sua localização atual e o seu destino, além de ser essencial para programadores calcularem colisões e movimentações de personagens dentro de videogames.

1. A Equação

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

• d: Distância escalar Euclidiana representada pelo comprimento do segmento de reta que une os dois pontos no plano. • (x1, y1): Coordenadas cartesianas ortogonais do Ponto P1. • (x2, y2): Coordenadas cartesianas ortogonais do Ponto P2.

2. Passo a Passo da Demonstração Teórica

Passo 1: Construção Geométrica no Plano Ortogonal

Considere dois pontos distintos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) dispostos em um sistema de eixos cartesianos bidimensional Ortogonal (X Y).

Para determinar a menor distância entre P1 e P2, projeta-se uma reta horizontal que passa por P1 (paralela ao eixo X) e uma reta vertical que passa por P2 (paralela ao eixo Y). A intersecção dessas duas retas cria um ponto auxiliar Q, cujas coordenadas cartesianas são exatamente (x2, y1).

Passo 2: A Caracterização do Triângulo Retângulo

A junção dos segmentos de reta P1Q, QP2 e P1P2 forma o triângulo P1QP2.

Como as retas projetadas são paralelas aos eixos ortogonais, o ângulo interno no vértice Q mede exatamente 90°. Portanto, o triângulo P1QP2 é um triângulo retângulo no qual: • O segmento P1P2 é a hipotenusa, medindo d. • O segmento P1Q é o cateto horizontal, associado ao eixo das abscissas. • O segmento QP2 é o cateto vertical, associado ao eixo das ordenadas.

Passo 3: O Cálculo da Longitude dos Catetos

O comprimento de qualquer segmento de reta paralelo a um dos eixos coordenados é dado pela diferença absoluta (módulo) entre as coordenadas dos seus pontos extremos:

• Comprimento do cateto horizontal (P1Q):

Δx = |x2 - x1|

• Comprimento do cateto vertical (QP2):

Δy = |y2 - y1|

Passo 4: Aplicação do Teorema de Pitágoras

Aplicando a relação fundamental de Pitágoras ao triângulo retângulo P1QP2:

• (Hipotenusa)² = (Cateto Horizontal)² + (Cateto Vertical)²

Substituindo pelas variáveis do plano cartesiano:

• d² = (Δx)² + (Δy)²

• d² = (|x2 - x1|)² + (|y2 - y1|)²

Como o quadrado de qualquer número real é sempre positivo ou nulo, o uso das barras de módulo torna-se desnecessário ao elevar os termos ao quadrado:

• d² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

Passo 5: Isolamento da Distância (d)

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade para isolar a grandeza escalar d (considerando apenas a solução positiva, uma vez que distâncias geométricas são estritamente não negativas):

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)