Demonstração de Fórmula: O Período do Pêndulo Simples para Pequenas Oscilações

O Pêndulo Simples é um sistema mecânico idealizado composto por uma massa pontual suspensa por um fio inextensível e sem massa. A sua equação determina o tempo necessário para o sistema completar uma oscilação completa (período).

1. A Equação

T = 2 × π × Raiz(L / g)

Onde:

• T é o Período de oscilação, em segundos (s).

• π é a constante pi (aproximadamente 3,14159).

• L é o Comprimento do fio, em metros (m).

• g é a Aceleração da gravidade local, em metros por segundo ao quadrado (m/s²).

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

Passo 1: Análise das Forças em Ação

Quando o pendulo é deslocado de um ângulo θ em relação à vertical, a força restauradora que tenta fazer o objeto voltar à posição de equilíbrio é a componente tangencial da Força Peso:

F_restauradora = -m × g × sin(θ)

Passo 2: A Aproximação para Pequenos Ângulos

Para ângulos muito pequenos (θ < 10° ou 0,17 radianos), o valor do seno do ângulo em radianos é aproximadamente igual ao próprio ângulo:

sin(θ) ≈ θ

Substituindo na força restauradora:

F_restauradora ≈ -m × g × θ

Como o arco de circunferência s é dado por s = L × θ, temos que θ = s / L. Logo:

F_restauradora = -m × g × (s / L) = -(m × g / L) × s

Passo 3: Comparação com o Movimento Harmónico Simples (MHS)

No MHS (como no sistema massa-mola), a força restauradora segue a Lei de Hooke:

F = -k × s

Comparando as duas equações, identificamos a "constante de mola equivalente" do pêndulo:

k = (m × g) / L

Passo 4: Substituição na Fórmula do Período do MHS

O período de qualquer oscilador harmónico simples é dado por:

T = 2 × π × Raiz(m / k)

Substituindo o valor de k encontrado:

T = 2 × π × Raiz(m / ((m × g) / L))

Simplificando a massa m no numerador e denominador:

T = 2 × π × Raiz(L / g)

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

A fórmula F = m × a é um caso particular da formulação matemática original proposta por Isaac Newton em seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687).

Newton definiu que a força resultante é igual à taxa de variação do momento linear (quantidade de movimento) ao longo do tempo.

Passo 1: Definindo o Momento Linear

O momento linear (p) de um corpo é dado pelo produto de sua massa (m) por sua velocidade (v):

p = m × v

Passo 2: A Variação no Tempo

De acordo com o enunciado original de Newton, a força resultante (F) é a variação da quantidade de movimento (Δp) dividida pelo intervalo de tempo (Δt):

F = Δp / Δt

Substituindo a definição de momento linear (p) na equação anterior:

F = Δ(m × v) / Δt

Passo 3: Considerando a Massa Constante

Na maioria dos sistemas físicos do cotidiano (onde não há perda expressiva de massa nem velocidades próximas à da luz), a massa (m) permanece constante. Assim, podemos colocá-la fora da variação:

F = m × (Δv / Δt)

Passo 4: Reconhecendo a Aceleração

Pela definição da mecânica vetorial, a variação da velocidade em relação ao tempo (Δv / Δt) é precisamente a aceleração (a):

a = Δv / Δt

Substituindo a na equação, chegamos à célebre fórmula:

F = m × a