A Lei de Gravitação Universal de Newton

Demonstração de Fórmula: A Lei de Gravitação Universal de Newton

A Lei da Gravitação Universal é um dos pilares da astrofísica e da engenharia espacial. Ela é utilizada para calcular a trajetória de planetas, prever o comportamento das marés oceânicas e projetar a órbita exata de satélites artificiais, telescópios espaciais e estações orbitais.

Como nos ajuda? Graças a essa equação, conseguimos manter a precisão dos sistemas de navegação por GPS, prever eclipses com séculos de antecedência e traçar rotas eficientes para sondas espaciais que exploram outros planetas do Sistema Solar.

1. A Equação

Fg = G × (m1 × m2) / r²

• Fg: Força de atração gravitacional vetorial mútua entre dois corpos (expressa em Newtons, N). • G: Constante de gravitação universal, cujo valor experimental é aproximadamente 6,674 × 10^-11 N m²/kg². • m1 e m2: Massas pontuais dos dois corpos em interação (expressas em quilogramas, kg). • r: Distância escalar medida entre os centros de massa dos dois corpos (expressa em metros, m).

2. Passo a Passo da Demonstração Teórica

Passo 1: A Análise das Leis de Kepler e da Dinâmica Circular

Ao analisar o movimento dos planetas ao redor do Sol, descrito empiricamente pelas Leis de Kepler, Isaac Newton observou que as órbitas aproximadamente circulares exigiam a presença constante de uma força central responsável por alterar a direção do vetor velocidade dos corpos celestes — a força centrípeta:

• Fc = m × v² / r

Pela Terceira Lei de Kepler, o quadrado do período de revolução de um planeta (T²) é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita (r³), ou seja:

• T² / r³ = K

Sabendo que a velocidade orbital é dada por v = (2 × π × r) / T, ao substituir essa velocidade na expressão da força centrípeta, obtemos:

• Fc = m × (4 × π² × r²) / (T² × r) • Fc = (4 × π² × m × r) / T²

Utilizando a relação de Kepler (T² = K × r³), a expressão transforma-se em:

• Fc = (4 × π² × m × r) / (K × r³) • Fc = (4 × π² × m) / (K × r²)

Isso provou matematicamente que a força necessária para reter um planeta em sua órbita varia inversamente com o quadrado da distância r².

Passo 2: A Simetria das Massas e a Terceira Lei de Newton

A Terceira Lei de Newton (Princípio da Ação e Reação) estabelece que as forças de atração atuam em pares: a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é estritamente igual em intensidade e oposta em sentido à força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1.

Para manter a simetria escalar da equação, a intensidade da força não pode depender da massa de apenas um dos corpos. Ela deve ser diretamente proporcional ao produto escalar de ambas as massas envolvidas na interação gravitacional:

• Fg é proporcional a (m1 × m2)

Combinando a dependência das massas com o inverso do quadrado da distância:

• Fg é proporcional a (m1 × m2) / r²

Passo 3: A Formalização com a Constante Gravitacional (G)

Para converter a proporcionalidade física em uma igualdade matemática estrita e válida em todo o universo observável, insere-se a constante universal de proporcionalidade G:

Fg = G × (m1 × m2) / r²