O Equilíbrio de Hardy-Weinberg: A Matemática da Evolução

O Princípio de Hardy-Weinberg é um modelo fundamental na biologia populacional. Ele estabelece que as frequências genéticas (alelos) em uma população permanecem constantes de geração em geração, a menos que forças evolutivas específicas atuem sobre ela.

1. As Equações

O modelo utiliza duas fórmulas interligadas:

1. Frequência dos alelos: p + q = 1

2. Frequência dos genótipos: p² + 2pq + q² = 1

Onde:

• p é a frequência do alelo dominante (A).

• q é a frequência do alelo recessivo (a).

• p² é a proporção de indivíduos homozigotos dominantes (AA).

• 2pq é a proporção de indivíduos heterozigotos (Aa).

• q² é a proporção de indivíduos homozigotos recessivos (aa).

2. Demonstração Passo a Passo da Fórmula

A demonstração parte de um conceito básico da genética: a probabilidade de herdar alelos durante a reprodução sexuada.

Passo 1: Frequência Allelica Total

Em um gene simples com apenas dois alelos possíveis em uma população (A e a), a soma de suas frequências deve ser igual a 100% (ou 1, em probabilidade decimal):

p + q = 1

Passo 2: O Cruzamento Aleatório

Quando os indivíduos se cruzam ao acaso na população, combinamos os gametas masculinos e femininos:

• Probabilidade de juntar o gameta masculino A com o feminino A: p × p = p² (Genótipo AA)

• Probabilidade de juntar o gameta masculino a com o feminino a: q × q = q² (Genótipo aa)

• Probabilidade de juntar o gameta A com o a: pode ser A (macho) + a (fêmea) = p × q, ou a (macho) + A (fêmea) = q × p. Somando os dois caminhos possíveis para formar o heterozigoto: pq + pq = 2pq (Genótipo Aa)

Passo 3: A Soma dos Genótipos

Como a soma de todos os genótipos possíveis em uma população deve ser igual a 100% (ou 1):

(Área total dos genótipos) = AA + Aa + aa

Substituindo pelas probabilidades calculadas:

p² + 2pq + q² = 1

Esta fórmula pode ser demonstrada algebricamente apenas elevando a primeira equação ao quadrado em ambos os lados: (p + q)² = 1², o que resulta em p² + 2pq + q² = 1.